Quinto caso:Diferencia de Cuadrados

¿Por qué se llama "Diferencia de Cuadrados"?

"Diferencia" se le dice a la resta . Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x² - 4, tenemos al cuadrado x² que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".


¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?

1) El polinomio tiene que tener 2 términos. 

2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x² - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a⁶. Ya que es lo mismo que a⁶ - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivo y otro negativo, no importa el orden.

3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados". Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto . En la próxima pregunta hago un resumen de las posibilidades a la hora de identificar un "cuadrado".


¿Cómo reconozco si un término es un "cuadrado"?

Recordemos que son cuadrados:

1) Los números enteros que tienen raíz cuadrada exacta. Por ejemplo: 4, 9, 16, 1, 25, 36, 64, 100, etc. En particular, recordar que el número 1 es un cuadrado.
Y los número decimales cuya raíz cuadrada dé un número decimal exacto. Es decir, que al calcular su raíz en la calculadora, no se llene ésta de cifras decimales . Ejemplos de decimales que son cuadrados: 0,09; 0,01; 0,0001; 0,25; 0,64; 1,44; 0,0256; etc. 

2) Las letras elevadas a un exponente par. Por ejemplo: x², x⁴, x⁶, x⁸, x¹⁰, etc.

3) Las fracciones cuyo numerador y denominador son ambos "cuadrados". Es decir, que el número de arriba tiene raíz exacta, y el de abajo también. Por ejemplo: 4/9 , 25/64, 1/4, 49/100, etc.

4) Términos que tengan varias letras y todas ellas sean potencias "pares" (exponente = 2, 4, 6, 8, etc). O sea, que cada letra sea "cuadrado", como en el punto 2). Por ejemplo: a²b², x⁴y², a⁶y⁸, a¹⁰b⁴c², x⁸y1², etc.

5) Términos que tengan un número y una o más letras, siempre que el número tenga raíz exacta y las letras sean potencias pares (como en los puntos 1) y 2)). Por ejemplo: 9x², 100a⁴b⁶, 25x⁸y², 64a⁶x¹²y², etc. El número puede ser una fracción, y debe ser cuadrado por supuesto (ver punto 3)). Por ejemplo: 1/9 x⁴, 9/25 y²b⁸, etc. O también un número decimal, que cumpla con lo dice el punto 1). Por ejemplo: 0,04 x²; 0,0009 x⁶y², etc.


¿Cómo se factoriza una Diferencia de Cuadrados?

Identifico las bases , y el resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:

a² - b² = (a + b).(a - b)

Donde a² y b² son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en la pregunta anterior . Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo, en 25x² - 100, los dos cuadrados son: 25x² y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)

DIFERENCIA DE CUADRADOS / EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 1: (Fácil) x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) x     3 Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases". EJEMPLO 2: (Con dos letras) x2 - y2 = (x + y).(x - y) x     y Las dos bases son letras EJEMPLO 3: (Con el "1") b2 - 1 = (b + 1).(b - 1) b     1 No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.