Quinto caso:Diferencia de Cuadrados

¿Por qué se llama "Diferencia de Cuadrados"?

"Diferencia" se le dice a la resta . Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x² - 4, tenemos al cuadrado x² que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".


¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?

1) El polinomio tiene que tener 2 términos. 

2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x² - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a⁶. Ya que es lo mismo que a⁶ - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivo y otro negativo, no importa el orden.

3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados". Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto . En la próxima pregunta hago un resumen de las posibilidades a la hora de identificar un "cuadrado".


¿Cómo reconozco si un término es un "cuadrado"?

Recordemos que son cuadrados:

1) Los números enteros que tienen raíz cuadrada exacta. Por ejemplo: 4, 9, 16, 1, 25, 36, 64, 100, etc. En particular, recordar que el número 1 es un cuadrado.
Y los número decimales cuya raíz cuadrada dé un número decimal exacto. Es decir, que al calcular su raíz en la calculadora, no se llene ésta de cifras decimales . Ejemplos de decimales que son cuadrados: 0,09; 0,01; 0,0001; 0,25; 0,64; 1,44; 0,0256; etc. 

2) Las letras elevadas a un exponente par. Por ejemplo: x², x⁴, x⁶, x⁸, x¹⁰, etc.

3) Las fracciones cuyo numerador y denominador son ambos "cuadrados". Es decir, que el número de arriba tiene raíz exacta, y el de abajo también. Por ejemplo: 4/9 , 25/64, 1/4, 49/100, etc.

4) Términos que tengan varias letras y todas ellas sean potencias "pares" (exponente = 2, 4, 6, 8, etc). O sea, que cada letra sea "cuadrado", como en el punto 2). Por ejemplo: a²b², x⁴y², a⁶y⁸, a¹⁰b⁴c², x⁸y1², etc.

5) Términos que tengan un número y una o más letras, siempre que el número tenga raíz exacta y las letras sean potencias pares (como en los puntos 1) y 2)). Por ejemplo: 9x², 100a⁴b⁶, 25x⁸y², 64a⁶x¹²y², etc. El número puede ser una fracción, y debe ser cuadrado por supuesto (ver punto 3)). Por ejemplo: 1/9 x⁴, 9/25 y²b⁸, etc. O también un número decimal, que cumpla con lo dice el punto 1). Por ejemplo: 0,04 x²; 0,0009 x⁶y², etc.


¿Cómo se factoriza una Diferencia de Cuadrados?

Identifico las bases , y el resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:

a² - b² = (a + b).(a - b)

Donde a² y b² son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en la pregunta anterior . Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo, en 25x² - 100, los dos cuadrados son: 25x² y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)

DIFERENCIA DE CUADRADOS / EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 1: (Fácil) x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) x     3 Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases". EJEMPLO 2: (Con dos letras) x2 - y2 = (x + y).(x - y) x     y Las dos bases son letras EJEMPLO 3: (Con el "1") b2 - 1 = (b + 1).(b - 1) b     1 No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.

 

Cuarto caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto

SOBRE EL CUARTO CASO DE FACTOREO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Nota: Antes de estudiar este caso, conviene aprender el Caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Porque el procedimiento es casi idéntico. La única diferencia es que aquí usamos otra fórmula, la fórmula para el "cubo" de un binomio.


¿Por qué el caso se llama Cuatrinomio Cubo Perfecto?

Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene de elevar al cubo un binomio con la fórmula:

(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³     

¿Cómo me doy cuenta de cuándo puedo aplicar este caso?

Primero que nada el polinomio tiene que tener 4 términos. Después, tiene que haber términos que puedan ser potencia tercera de algo , como x³, 8, 1, a⁶, -27, etc. Cumplidas esas dos condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".


¿Qué es eso de "verificar que es un cubo perfecto"? ¿Por qué "perfecto"?

Muchos polinomios pueden tener potencias terceras, pero se les llama "cubo perfecto" solamente a los que son resultado de elevar a un binomio a una potencia tercera. Es decir, a los que son resultado de usar la fórmula (a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³. Por ejemplo:

(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8     
Podemos decir que x³ + 6x² + 12x + 8 es un "cubo perfecto", porque viene de elevar a la tercera al binomio (x + 2). En cambio hay otros polinomios de los que no se puede decir lo mismo, por ejemplo: x³ + y2 - 15x + 3xy no viene de elevar al cubo a ningún binomio.

Cuando aplicamos este Caso, tenemos que hacer un par de verificaciones para demostrar que nuestro polinomio cumple con todas las condiciones necesarias para ser un "cubo perfecto", es decir, para ser resultado de aplicar esa fórmula.


¿Qué condiciones tiene que cumplir el polinomio para ser "cubo perfecto"?

1) Tiene que tener dos términos que sean "cubos", es decir, potencia tercera de algo (número, letra o ambos). Por ejemplo, los siguientes términos son cubos:

x³
x⁶         porque (x²)³ es igual a x⁶      
-x³        porque (-x)³ es igual a -x³     8          porque 2³ es igual a 8
-1         porque (-1)³ es igual a -1
27        porque 3³ es igual a 27


2) Y luego tiene que verificar los dos "triple-productos" . En la explicación del  se puede ver cómo se hace esa verificación.

Esos "triple-productos" son los que están en la fórmula del cubo de un binomio:

3.a².b  y  3.a.b²

a y b son "las bases" , es decir los números o letras que "provienen" de esos "cubos" que hallamos en el punto 1). Por ejemplo, si en nuestro polinomio estaba x³, la base es x. Si estaba el -8, la base es -2 (son las que siempre pongo en rojo); etc.
Luego, hay que multiplicar de esta manera: "El número 3, por una de las bases al cuadrado, por la otra base" (3a²b y 3ab²). Y el resultado tiene que coincidir con alguno de los términos del polinomio que queremos factorizar, tal como en el caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. En este Caso, debemos hacerlo dos veces:

- En una de ellas, ponemos una de las bases al cuadrado y la otra no (por ejemplo, la "a" al cuadrado y la "b" no).
- Y en la otra hacemos al revés (la "b" al cuadrado, y la "a" no).

Los dos resultados que obtenemos tienen que estar en el polinomio que estamos tratando de factorizar, incluso el signo (+ o -) debe coincidir.

Cumplidas estas dos condiciones, podemos decir que nuestro polinomio "cumple con el Caso", y lo podemos factorizar como "la suma de las bases, elevada a la tercera": (a + b)³.

Ejemplos:

(x + 2)³ = x³ + 3.x².2 + 3.x.2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

(x - 1)³ = x³ + 3.x².(-1) + 3.x.(-1)² + (-1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1

(-x + 3)³ = (-x)³ + 3.(-x)².3 + 3.(-x).3² + 3³ = -x³ + 9x² - 27x + 27

(-x - 4)³ = (-x)³ + 3.(-x)².(-4) + 3.(-x).(-4)² + (-4)³ = -x³ - 12x² - 48x - 64

(x² + 1)³ = (x²)³ + 3.(x²)².1 + 3.x².1² + 1³ = x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1

(2x + 3)³ = (2x)³ + 3.(2x)².3 + 3.2x.3² + 3³ = 8x³ + 36x² + 54x + 27

(ax + 2b)³ = (ax)³ + 3.(ax)².2b + 3.ax.(2b)² + (2b)³ = a³x³ + 6x²a²b + 12axb² + 8b³

<sup>Potencias de números negativos

Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente par (2, 4, 6, 8, etc.), el resultado será positivo. Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente impar (1, 3, 5, 7 veces), el resultado será negativo. Veamos ejemplos:

Potencia 2:

(-3)2 es igual a (-3).(-3), y eso es igual a 9, un número positivo. Porque "menos por menos, más". Al elevar a la potencia segunda, que es un número par (2), estoy multiplicando por sí mismo dos veces al signo menos. Como "menos por menos es más", el resultado es positivo.

Potencia 4:

(-3)4 es igual a (-3).(-3).(-3).(-3), y eso es igual a 81, un número positivo. Porque "Menos por menos, más. Más por menos, menos. Y menos por menos, más"

En fin, cada vez que multiplico el signo menos un número par de veces (2, 4, 6, 8 veces), me termina dando "más", según la regla de los signos. Entonces, el resultado es positivo. En cambio con las potencias impares pasa esto:

(-2)3 es igual a (-2).(-2).(-2), y eso es igual a -8, un número negativo. Porque "Menos por menos, más. Y más por menos, menos". El resultado me dá negativo. Al multiplicar 3 veces el signo menos, obtengo "menos", según la regla de los signos. Y eso pasa cada vez que multiplico por una cantidad impar de veces (1, 3, 5, 7 veces, etc.)</sup> 

Tercer caso:Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la siguiente forma:

a² ± 2.a.b + b²

Este trinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cuadrado de un binomio:

(a ± b)²

Así:

a² ± 2.a.b + b² = (a ± b)²

Para factorearlo aplicamos raíz cuadrada a los términos elevados al cuadrado o a una potencia par, en éste caso "a²" y "b²":

√a² = ±a

√b² = ±b

Luego verificamos que el resultado de éstas raíces multiplicado por 2 sea igual al tercer término (por el momento omitimos el signo ±):

2.a.b = 2.a.b (éste es un caso sencillo)

Con respecto al signo ± dependerá del signo de "b", como regla debemos tomar el signo como sigue:

a² + 2.a.b + b² = (a + b)²

a² - 2.a.b + b² = (a - b)²

Así queda factoreado.

Ejemplo:

9.x⁴ - 12.x².y + 4.y²

Identificamos los términos cuadrados y aplicamos raíz cuadrada:

√9.x⁴ = 3.x²

√4.y² = 2.y

El doble producto de los resultados anteriores debe ser igual 12.x².y:

2.(3.x²).(2.y) = 12.x².y

Por lo tanto el polinomio factoreado es:

9.x⁴ - 12.x².y + 4.y² = (3.x² - 2.y)²

Observen el signo negativo del segundo término.

EJEMPLO : (Términos positivos)


x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x² y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)² 

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto:
Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio.
El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.
Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)^2
Raíz cuadrada de a^2 = a    ;    raíz cuadrada de 4b^2 = 2b
–> se forma el binomio (a -2b)  y este se multiplica por sí mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que sería  (a -2b)^2 , que es la Solución.
Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del trinomio.

Factorización 

Segundo caso:(factor común por agrupación de términos) 

a)Descomponer x (a + b ) + m (a + b ) 

Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que se pone (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ):                                                   

y se tiene: 

x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m ) 

b) Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1) 

El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos: 

                                                        

luego: 

2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y ) 

c) Descomponer m (x + 2) + x + 2 

Se puede escribir esta expresión así: m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1(x + 2) El factor común es (x + 2) con lo que: m (x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1) 

d) Descomponer a (x + 1) - x - 1 Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) , se tiene: a (x + 1) - x - 1 = a (x + 1) - (x + 1) = a (x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1) 

e) Factorizar 2x (x + y + z ) - x - y – z. Con esto: 2x (x + y + z ) - x - y - z = 2x (x + y + z ) - (x + y + z ) = (x + y + z )(2x - 1) 

f) Factorizar (x - a )( y + 2) + b ( y + 2). El factor común es ( y + 2), y dividiendo los dos términos de la expresión dada entre ( y + 2) tenemos: 

                                                      

luego: 

(x - a )( y + 2) + b ( y + 2) = ( y + 2)(x - a + b ) 

g) Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3). Al dividir entre el factor común (x - 1): 

                                                         

por tanto: 

(x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 2) - (x - 3) = (x - 1)(x + 2 - x + 3) = (x - 1)(5) = (x - 1)

h) Factorizar x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1. 

x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1 = x (a - 1) + y (a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(x + y - 1) 

FACTORIZACIÓN

PRIMER CASO(FACTOR COMÚN):

¿Pero qué es un "factor común"?

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificar lo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo. 

¿Por qué se llama "Factor común"? 
Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común". 

¿Y qué pasa con los signos en el factoreo?

Casi siempre sacamos factor común positivo, a menos que por alguna razón necesitemos hacer lo contrario. Si sacamos factor común positivo, cada término queda con el mismo signo que tenía originalmente. Por ejemplo:

-2a + 2b - 2c - 2d = 2. (-a + b - c - d)

Y eso es porque estamos dividiendo: En cada división usamos la regla de los signos para calcular el resultado, y al dividir por un número positivo, el resultado tiene el mismo signo que el término original:

REGLA DE LOS SIGNOS:

"más por más = más"
"menos por menos = más"
"más por menos = menos"
"menos por más = menos"

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
El factor común es x^2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EJEMPLO 3: (Sacar factor común negativo)
8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)

EJEMPLO 4: (Normalizar un polinomio)

5x⁴ - 2x³ - 3x + 4 = 5. (x⁴ - 2/5 x³ - 3/5 x + 4/5)
Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5.
Saco factor común "-4". Todos los términos quedan con el signo contrario al que traían.