Cuarto caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto
SOBRE EL CUARTO CASO DE FACTOREO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Nota: Antes de estudiar este caso,
conviene aprender el Caso
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Porque el
procedimiento es casi idéntico. La única diferencia es que aquí usamos otra fórmula, la
fórmula para el "cubo" de un binomio.
¿Por qué el caso se llama Cuatrinomio Cubo Perfecto?
Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene de elevar al cubo un binomio con la fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
¿Cómo me doy cuenta de cuándo puedo aplicar este caso?
Primero que nada el polinomio tiene que tener 4 términos. Después, tiene que haber términos que puedan ser potencia tercera de algo , como x3, 8, 1, a6, -27, etc. Cumplidas esas dos condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".
¿Qué es eso de "verificar que es un cubo perfecto"? ¿Por qué "perfecto"?
Muchos polinomios pueden tener potencias terceras, pero se les llama "cubo perfecto" solamente a los que son resultado de elevar a un binomio a una potencia tercera. Es decir, a los que son resultado de usar la fórmula (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3. Por ejemplo:
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Podemos decir que x3 + 6x2 + 12x + 8 es un "cubo perfecto", porque viene de elevar a la tercera al binomio (x + 2). En cambio hay otros polinomios de los que no se puede decir lo mismo, por ejemplo: x3 + y2 - 15x + 3xy no viene de elevar al cubo a ningún binomio.
Cuando aplicamos este Caso, tenemos que hacer un par de verificaciones para demostrar que nuestro polinomio cumple con todas las condiciones necesarias para ser un "cubo perfecto", es decir, para ser resultado de aplicar esa fórmula.
¿Qué condiciones tiene que cumplir el polinomio para ser "cubo perfecto"?
1) Tiene que tener dos términos que sean "cubos", es decir, potencia tercera de algo (número, letra o ambos). Por ejemplo, los siguientes términos son cubos:
x3
x6 porque (x2)3 es igual a x6
-x3 porque (-x)3 es igual a -x3 8 porque 23 es igual a 8
-1 porque (-1)3 es igual a -1
27 porque 33 es igual a 27
2) Y luego tiene que verificar los dos "triple-productos" . En la explicación del se puede ver cómo se hace esa verificación.
Esos "triple-productos" son los que están en la fórmula del cubo de un binomio:
3.a2.b y 3.a.b2
a y b son "las bases" , es decir los números o letras que "provienen" de esos "cubos" que hallamos en el punto 1). Por ejemplo, si en nuestro polinomio estaba x3, la base es x. Si estaba el -8, la base es -2 (son las que siempre pongo en rojo); etc.
Luego, hay que multiplicar de esta manera: "El número 3, por una de las bases al cuadrado, por la otra base" (3a2b y 3ab2). Y el resultado tiene que coincidir con alguno de los términos del polinomio que queremos factorizar, tal como en el caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. En este Caso, debemos hacerlo dos veces:
- En una de ellas, ponemos una de las bases al cuadrado y la otra no (por ejemplo, la "a" al cuadrado y la "b" no).
- Y en la otra hacemos al revés (la "b" al cuadrado, y la "a" no).
Los dos resultados que obtenemos tienen que estar en el polinomio que estamos tratando de factorizar, incluso el signo (+ o -) debe coincidir.
Cumplidas estas dos condiciones, podemos decir que nuestro polinomio "cumple con el Caso", y lo podemos factorizar como "la suma de las bases, elevada a la tercera": (a + b)3.
¿Por qué el caso se llama Cuatrinomio Cubo Perfecto?
Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene de elevar al cubo un binomio con la fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
¿Cómo me doy cuenta de cuándo puedo aplicar este caso?
Primero que nada el polinomio tiene que tener 4 términos. Después, tiene que haber términos que puedan ser potencia tercera de algo , como x3, 8, 1, a6, -27, etc. Cumplidas esas dos condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".
¿Qué es eso de "verificar que es un cubo perfecto"? ¿Por qué "perfecto"?
Muchos polinomios pueden tener potencias terceras, pero se les llama "cubo perfecto" solamente a los que son resultado de elevar a un binomio a una potencia tercera. Es decir, a los que son resultado de usar la fórmula (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3. Por ejemplo:
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Podemos decir que x3 + 6x2 + 12x + 8 es un "cubo perfecto", porque viene de elevar a la tercera al binomio (x + 2). En cambio hay otros polinomios de los que no se puede decir lo mismo, por ejemplo: x3 + y2 - 15x + 3xy no viene de elevar al cubo a ningún binomio.
Cuando aplicamos este Caso, tenemos que hacer un par de verificaciones para demostrar que nuestro polinomio cumple con todas las condiciones necesarias para ser un "cubo perfecto", es decir, para ser resultado de aplicar esa fórmula.
¿Qué condiciones tiene que cumplir el polinomio para ser "cubo perfecto"?
1) Tiene que tener dos términos que sean "cubos", es decir, potencia tercera de algo (número, letra o ambos). Por ejemplo, los siguientes términos son cubos:
x3
x6 porque (x2)3 es igual a x6
-x3 porque (-x)3 es igual a -x3 8 porque 23 es igual a 8
-1 porque (-1)3 es igual a -1
27 porque 33 es igual a 27
2) Y luego tiene que verificar los dos "triple-productos" . En la explicación del se puede ver cómo se hace esa verificación.
Esos "triple-productos" son los que están en la fórmula del cubo de un binomio:
3.a2.b y 3.a.b2
a y b son "las bases" , es decir los números o letras que "provienen" de esos "cubos" que hallamos en el punto 1). Por ejemplo, si en nuestro polinomio estaba x3, la base es x. Si estaba el -8, la base es -2 (son las que siempre pongo en rojo); etc.
Luego, hay que multiplicar de esta manera: "El número 3, por una de las bases al cuadrado, por la otra base" (3a2b y 3ab2). Y el resultado tiene que coincidir con alguno de los términos del polinomio que queremos factorizar, tal como en el caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. En este Caso, debemos hacerlo dos veces:
- En una de ellas, ponemos una de las bases al cuadrado y la otra no (por ejemplo, la "a" al cuadrado y la "b" no).
- Y en la otra hacemos al revés (la "b" al cuadrado, y la "a" no).
Los dos resultados que obtenemos tienen que estar en el polinomio que estamos tratando de factorizar, incluso el signo (+ o -) debe coincidir.
Cumplidas estas dos condiciones, podemos decir que nuestro polinomio "cumple con el Caso", y lo podemos factorizar como "la suma de las bases, elevada a la tercera": (a + b)3.
Ejemplos:
(x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
(x - 1)3 = x3 + 3.x2.(-1) + 3.x.(-1)2 + (-1)3 = x3 - 3x2 + 3x - 1
(-x + 3)3 = (-x)3 + 3.(-x)2.3 + 3.(-x).32 + 33 = -x3 + 9x2 - 27x + 27
(-x - 4)3 = (-x)3 + 3.(-x)2.(-4) + 3.(-x).(-4)2 + (-4)3 = -x3 - 12x2 - 48x - 64
(x2 + 1)3 = (x2)3 + 3.(x2)2.1 + 3.x2.12 + 13 = x6 + 3x4 + 3x2 + 1
(2x + 3)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 + 33 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27
(ax + 2b)3 = (ax)3 + 3.(ax)2.2b + 3.ax.(2b)2 + (2b)3 = a3x3 + 6x2a2b + 12axb2 + 8b3
(x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
(x - 1)3 = x3 + 3.x2.(-1) + 3.x.(-1)2 + (-1)3 = x3 - 3x2 + 3x - 1
(-x + 3)3 = (-x)3 + 3.(-x)2.3 + 3.(-x).32 + 33 = -x3 + 9x2 - 27x + 27
(-x - 4)3 = (-x)3 + 3.(-x)2.(-4) + 3.(-x).(-4)2 + (-4)3 = -x3 - 12x2 - 48x - 64
(x2 + 1)3 = (x2)3 + 3.(x2)2.1 + 3.x2.12 + 13 = x6 + 3x4 + 3x2 + 1
(2x + 3)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 + 33 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27
(ax + 2b)3 = (ax)3 + 3.(ax)2.2b + 3.ax.(2b)2 + (2b)3 = a3x3 + 6x2a2b + 12axb2 + 8b3
Potencias de números negativos
Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente par (2, 4, 6, 8, etc.), el resultado será positivo. Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente impar (1, 3, 5, 7 veces), el resultado será negativo. Veamos ejemplos:
Potencia 2:
(-3)2 es igual a (-3).(-3), y eso es igual a 9, un número positivo. Porque "menos por menos, más". Al elevar a la potencia segunda, que es un número par (2), estoy multiplicando por sí mismo dos veces al signo menos. Como "menos por menos es más", el resultado es positivo.
Potencia 4:
(-3)4 es igual a (-3).(-3).(-3).(-3), y eso es igual a 81, un número positivo. Porque "Menos por menos, más. Más por menos, menos. Y menos por menos, más"
En fin, cada vez que multiplico el signo menos un número par de veces (2, 4, 6, 8 veces), me termina dando "más", según la regla de los signos. Entonces, el resultado es positivo. En cambio con las potencias impares pasa esto:
(-2)3 es igual a (-2).(-2).(-2), y eso es igual a -8, un número negativo. Porque "Menos por menos, más. Y más por menos, menos". El resultado me dá negativo. Al multiplicar 3 veces el signo menos, obtengo "menos", según la regla de los signos. Y eso pasa cada vez que multiplico por una cantidad impar de veces (1, 3, 5, 7 veces, etc.)
Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente par (2, 4, 6, 8, etc.), el resultado será positivo. Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente impar (1, 3, 5, 7 veces), el resultado será negativo. Veamos ejemplos:
Potencia 2:
(-3)2 es igual a (-3).(-3), y eso es igual a 9, un número positivo. Porque "menos por menos, más". Al elevar a la potencia segunda, que es un número par (2), estoy multiplicando por sí mismo dos veces al signo menos. Como "menos por menos es más", el resultado es positivo.
Potencia 4:
(-3)4 es igual a (-3).(-3).(-3).(-3), y eso es igual a 81, un número positivo. Porque "Menos por menos, más. Más por menos, menos. Y menos por menos, más"
En fin, cada vez que multiplico el signo menos un número par de veces (2, 4, 6, 8 veces), me termina dando "más", según la regla de los signos. Entonces, el resultado es positivo. En cambio con las potencias impares pasa esto:
(-2)3 es igual a (-2).(-2).(-2), y eso es igual a -8, un número negativo. Porque "Menos por menos, más. Y más por menos, menos". El resultado me dá negativo. Al multiplicar 3 veces el signo menos, obtengo "menos", según la regla de los signos. Y eso pasa cada vez que multiplico por una cantidad impar de veces (1, 3, 5, 7 veces, etc.)
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