Tercer caso:Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la siguiente forma:

a² ± 2.a.b + b²

Este trinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cuadrado de un binomio:

(a ± b)²

Así:

a² ± 2.a.b + b² = (a ± b)²

Para factorearlo aplicamos raíz cuadrada a los términos elevados al cuadrado o a una potencia par, en éste caso "a²" y "b²":

√a² = ±a

√b² = ±b

Luego verificamos que el resultado de éstas raíces multiplicado por 2 sea igual al tercer término (por el momento omitimos el signo ±):

2.a.b = 2.a.b (éste es un caso sencillo)

Con respecto al signo ± dependerá del signo de "b", como regla debemos tomar el signo como sigue:

a² + 2.a.b + b² = (a + b)²

a² - 2.a.b + b² = (a - b)²

Así queda factoreado.

Ejemplo:

9.x⁴ - 12.x².y + 4.y²

Identificamos los términos cuadrados y aplicamos raíz cuadrada:

√9.x⁴ = 3.x²

√4.y² = 2.y

El doble producto de los resultados anteriores debe ser igual 12.x².y:

2.(3.x²).(2.y) = 12.x².y

Por lo tanto el polinomio factoreado es:

9.x⁴ - 12.x².y + 4.y² = (3.x² - 2.y)²

Observen el signo negativo del segundo término.

EJEMPLO : (Términos positivos)


x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x² y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)² 

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto:
Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio.
El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.
Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)^2
Raíz cuadrada de a^2 = a    ;    raíz cuadrada de 4b^2 = 2b
–> se forma el binomio (a -2b)  y este se multiplica por sí mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que sería  (a -2b)^2 , que es la Solución.
Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del trinomio.

Factorización 

Segundo caso:(factor común por agrupación de términos) 

a)Descomponer x (a + b ) + m (a + b ) 

Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que se pone (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ):                                                   

y se tiene: 

x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m ) 

b) Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1) 

El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos: 

                                                        

luego: 

2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y ) 

c) Descomponer m (x + 2) + x + 2 

Se puede escribir esta expresión así: m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1(x + 2) El factor común es (x + 2) con lo que: m (x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1) 

d) Descomponer a (x + 1) - x - 1 Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) , se tiene: a (x + 1) - x - 1 = a (x + 1) - (x + 1) = a (x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1) 

e) Factorizar 2x (x + y + z ) - x - y – z. Con esto: 2x (x + y + z ) - x - y - z = 2x (x + y + z ) - (x + y + z ) = (x + y + z )(2x - 1) 

f) Factorizar (x - a )( y + 2) + b ( y + 2). El factor común es ( y + 2), y dividiendo los dos términos de la expresión dada entre ( y + 2) tenemos: 

                                                      

luego: 

(x - a )( y + 2) + b ( y + 2) = ( y + 2)(x - a + b ) 

g) Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3). Al dividir entre el factor común (x - 1): 

                                                         

por tanto: 

(x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 2) - (x - 3) = (x - 1)(x + 2 - x + 3) = (x - 1)(5) = (x - 1)

h) Factorizar x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1. 

x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1 = x (a - 1) + y (a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(x + y - 1) 

FACTORIZACIÓN

PRIMER CASO(FACTOR COMÚN):

¿Pero qué es un "factor común"?

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificar lo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo. 

¿Por qué se llama "Factor común"? 
Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común". 

¿Y qué pasa con los signos en el factoreo?

Casi siempre sacamos factor común positivo, a menos que por alguna razón necesitemos hacer lo contrario. Si sacamos factor común positivo, cada término queda con el mismo signo que tenía originalmente. Por ejemplo:

-2a + 2b - 2c - 2d = 2. (-a + b - c - d)

Y eso es porque estamos dividiendo: En cada división usamos la regla de los signos para calcular el resultado, y al dividir por un número positivo, el resultado tiene el mismo signo que el término original:

REGLA DE LOS SIGNOS:

"más por más = más"
"menos por menos = más"
"más por menos = menos"
"menos por más = menos"

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
El factor común es x^2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EJEMPLO 3: (Sacar factor común negativo)
8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)

EJEMPLO 4: (Normalizar un polinomio)

5x⁴ - 2x³ - 3x + 4 = 5. (x⁴ - 2/5 x³ - 3/5 x + 4/5)
Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5.
Saco factor común "-4". Todos los términos quedan con el signo contrario al que traían.