Tercer caso:Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la siguiente forma:

a² ± 2.a.b + b²

Este trinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cuadrado de un binomio:

(a ± b)²

Así:

a² ± 2.a.b + b² = (a ± b)²

Para factorearlo aplicamos raíz cuadrada a los términos elevados al cuadrado o a una potencia par, en éste caso "a²" y "b²":

√a² = ±a

√b² = ±b

Luego verificamos que el resultado de éstas raíces multiplicado por 2 sea igual al tercer término (por el momento omitimos el signo ±):

2.a.b = 2.a.b (éste es un caso sencillo)

Con respecto al signo ± dependerá del signo de "b", como regla debemos tomar el signo como sigue:

a² + 2.a.b + b² = (a + b)²

a² - 2.a.b + b² = (a - b)²

Así queda factoreado.

Ejemplo:

9.x⁴ - 12.x².y + 4.y²

Identificamos los términos cuadrados y aplicamos raíz cuadrada:

√9.x⁴ = 3.x²

√4.y² = 2.y

El doble producto de los resultados anteriores debe ser igual 12.x².y:

2.(3.x²).(2.y) = 12.x².y

Por lo tanto el polinomio factoreado es:

9.x⁴ - 12.x².y + 4.y² = (3.x² - 2.y)²

Observen el signo negativo del segundo término.

EJEMPLO : (Términos positivos)


x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x² y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)² 

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto:
Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio.
El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.
Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)^2
Raíz cuadrada de a^2 = a    ;    raíz cuadrada de 4b^2 = 2b
–> se forma el binomio (a -2b)  y este se multiplica por sí mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que sería  (a -2b)^2 , que es la Solución.
Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del trinomio.