FACTORIZACIÓN

PRIMER CASO(FACTOR COMÚN):

¿Pero qué es un "factor común"?

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificar lo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo. 

¿Por qué se llama "Factor común"? 
Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común". 

¿Y qué pasa con los signos en el factoreo?

Casi siempre sacamos factor común positivo, a menos que por alguna razón necesitemos hacer lo contrario. Si sacamos factor común positivo, cada término queda con el mismo signo que tenía originalmente. Por ejemplo:

-2a + 2b - 2c - 2d = 2. (-a + b - c - d)

Y eso es porque estamos dividiendo: En cada división usamos la regla de los signos para calcular el resultado, y al dividir por un número positivo, el resultado tiene el mismo signo que el término original:

REGLA DE LOS SIGNOS:

"más por más = más"
"menos por menos = más"
"más por menos = menos"
"menos por más = menos"

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
El factor común es x^2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EJEMPLO 3: (Sacar factor común negativo)
8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)

EJEMPLO 4: (Normalizar un polinomio)

5x⁴ - 2x³ - 3x + 4 = 5. (x⁴ - 2/5 x³ - 3/5 x + 4/5)
Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5.
Saco factor común "-4". Todos los términos quedan con el signo contrario al que traían.